2021-2022學(xué)年山西省呂梁市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母標(biāo)號在答題卡相應(yīng)位置涂黑．

• 1．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)

  z

  =

  1

  i

  +

  i

  2022

  ，則復(fù)數(shù)

  z

  的虛部是（　?。?/h2>

  A．-1

  B．1

  C．-i

  D．i
  組卷：184引用：1難度：0.8

  解析

• 2．下列說法正確的是（　?。?/h2>

  A．三角形的直觀圖是三角形

  B．直四棱柱是長方體

  C．平行六面體不是棱柱

  D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺
  組卷：38引用：2難度：0.7

  解析

• 3．為了促進市場經(jīng)濟發(fā)展，某電商平臺對出售同一款商品的A，B兩個店鋪進行網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，其中甲，乙，丙，丁，戊五位網(wǎng)購者對這兩個店輔服務(wù)態(tài)度的對比評分圖如圖，則下面結(jié)論正確的是（　?。?/h2>

  A．B店鋪的得分總高于A店鋪的得分

  B．A店鋪的均分高于B店鋪的均分

  C．B店鋪的中位數(shù)小于A店鋪的中位數(shù)

  D．A店鋪的得分更穩(wěn)定
  組卷：24引用：1難度：0.7

  解析

• 4．拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體玩具，設(shè)事件A為“向上一面點數(shù)為奇數(shù)”，事件B為“向上一面點數(shù)為6的約數(shù)”，則P（A∪B）為（　?。?/h2>

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 2 3

  D． 5 6
  組卷：118引用：3難度：0.7

  解析

• 5．已知α，β是兩個不同平面，l是空間中的直線，若l⊥α，則“α⊥β”是“l(fā)∥β”的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：37引用：2難度：0.6

  解析

• 6．下列命題正確的是（　　）

  A．若 a = （ - 1 ， 2 ） ， b = （ m 2 ， 1 ） ，且 a ⊥ b ，則 m = 2

  B．若 ? λ ∈ R ， a ≠ λ b ，則 a ， b 不共線

  C．若 OB ， OC 是平面內(nèi)不共線的向量，且存在實數(shù)y使得 OA + y OC = y OB + OC ，則A，B，C三點共線

  D．若 a = （ - 1 ， 1 ） ， b = （ 1 ， 2 ） ，則 b 在 a 上的投影向量為 （ 1 2 ，- 1 2 ）
  組卷：59引用：5難度：0.6

  解析

• 7．已知圖①為棱長為a的正方體，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖②所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則異面直線DB與B₁C所成角的余弦值為（　?。?br />

  A． 2 2

  B． 3 3

  C． 6 3

  D． 6 6
  組卷：31引用：2難度：0.5

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三、解答題（本大題共6小題，共70分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是邊AB及BC的中點，將△AED，△BEF及△DCF折起，使點A，C，B重合于點A₁；
  （1）證明：平面A₁DF⊥平面A₁EF；
  （2）求二面角A₁-DF-E的余弦值．
  組卷：74引用：2難度：0.5

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• 22．隨著高校強基計劃招生的持續(xù)開展，我市高中生抓起了參與數(shù)學(xué)興趣小組的熱潮．為調(diào)查我市高中生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各隨機抽取了40名學(xué)生，記錄他們在一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時間，并將其分成了6個區(qū)間：（0，10]、（10，20]、（20，30]、（30，40]、（40，50]、（50，60]，整理得到如圖頻率分布直方圖：
  
  （1）求圖1中a的值，并估計甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間的眾數(shù)；
  （2）估計乙高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間的均值

  x

  乙

  及方差

  s

  2

  乙

  （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
  （3）若從甲、乙兩所高中分別抽取樣本量為m、n的兩個樣本，經(jīng)計算得它們的平均數(shù)和方差分別為：

  x

  、

  s

  2

  1

  與

  y

  、

  s

  2

  2

  ，記總的樣本平均數(shù)為

  w

  ，樣本方差為s²，證明：
  ①

  w

  =

  m

  m

  +

  n

  x

  +

  n

  m

  +

  n

  y

  ；
  ②

  s

  2

  =

  1

  m

  +

  n

  {

  m

  [

  s

  2

  1

  +

  （

  x

  -

  w

  ）

  2

  ]

  +

  n

  [

  s

  2

  2

  +

  （

  y

  -

  w

  ）

  2

  ]

  }

  ．
  組卷：65引用：3難度：0.7

  解析