2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市市北高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．下列判斷正確的是（　?。?/h2>

  A．圓錐的側(cè)面展開圖可以是一個圓面

  B．底面是等邊三角形，三個側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

  C．一個西瓜切3刀最多可切成8塊

  D．過球面上任意兩不同點的大圓有且只有一個
  組卷：100引用：4難度：0.7

  解析

• 2．已知復(fù)數(shù)z=

  -

  1

  -

  2

  i

  （

  1

  +

  i

  ）

  2

  ，則z=（　　）

  A．- 3 4 + 1 4 i

  B．- 1 4 + 3 4 i

  C．-1+ 1 2 i

  D．-1- 1 2 i
  組卷：29引用：1難度：0.9

  解析

• 3．等邊三角形ABC的邊長為1，

  BC

  =

  a

  ，

  CA

  =

  b

  ，

  AB

  =

  c

  ，那么

  a

  ?

  b

  +

  b

  ?

  c

  +

  c

  ?

  a

  等于（　?。?/h2>

  A．3

  B．-3

  C． 3 2

  D． - 3 2
  組卷：316引用：24難度：0.9

  解析

• 4．在△ABC中，a=3，b=

  7

  ，c=2，那么B等于（　?。?/h2>

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．120°
  組卷：711引用：49難度：0.9

  解析

• 5．已知△ABC的外接圓圓心為O，且2

  AO

  =

  AB

  +

  AC

  ，|

  AO

  |=|

  AB

  |，則向量

  BA

  在向量

  BC

  上的投影向量為（　?。?/h2>

  A． 1 4 BC

  B． 3 4 BC

  C．- 1 4 BC

  D．- 3 4 BC
  組卷：243引用：11難度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，A=60°，b=1，其面積為

  3

  ，則

  a

  +

  b

  +

  c

  sin

  A

  +

  sin

  B

  +

  sin

  C

  等于（　?。?/h2>

  A． 3 3

  B． 2 39 3

  C． 8 3 3

  D． 39 2
  組卷：243引用：8難度：0.7

  解析

• 7．已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=

  3

  AB，若四面體P-ABC的體積為

  3

  2

  ，求球的表面積（　?。?/h2>

  A．8π

  B．12π

  C．8 3 π

  D．12 3 π
  組卷：265引用：8難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．重慶、武漢、南京并稱為主大“火爐”城市，而重慶比武漢、南京更厲害，堪稱三大“火爐”之首．某人在歌樂山修建了一座避暑山莊O（如圖）．為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條夾角為

  π

  6

  （即∠AOB）的小路之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰激凌”般的涼爽感，已知弓形花園的弦長|AB|=2

  3

  且點A，B落在小路上，記弓形花園的頂點為M，∠MAB=∠MBA=

  π

  6

  ，設(shè)∠OBA=θ．
  
  （1）將OA，OB用含有θ的關(guān)系式表示出來；
  （2）該山莊準(zhǔn)備在M點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何規(guī)劃花園（即OA，OB長度），才使得噴泉M與山莊O距離即|OM|值最大？
  組卷：540引用：5難度：0.3

  解析

• 22．類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；
  如圖1，由射線PA，PB，PC構(gòu)成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小為θ，則cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．
  （1）當(dāng)α、

  β

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  時，證明以上三面角余弦定理；
  （2）如圖2，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°，∠BAC=45°，
  ①求∠A₁AB的余弦值；
  ②在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．
  
  組卷：396引用：11難度：0.4

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