2010年新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)第06講：實(shí)數(shù)的概念與性質(zhì)

一、填空題（共8小題，每小題5分，滿分45分）

• 1．已知x、y是實(shí)數(shù)，

  3

  x

  +

  4

  +

  y

  2

  -

  6

  y

  +

  9

  =

  0

  ，若axy-3x=y,則a=

   

  ．
  組卷：181引用：5難度：0.7

  解析

• 2．方程

  |

  x

  +

  y

  |

  -

  5

  +

  y

  +

  18

  =

  0

  的解是

   

  或

   

  ．
  組卷：330引用：3難度：0.5

  解析

• 3．請(qǐng)你觀察思考下列計(jì)算過(guò)程：∵11²=121，∴

  121

  =11；
  同樣：∵111²=12321，∴

  12321

  =111；…
  由此猜想

  12345678987654321

  =

   

  ．
  組卷：506引用：42難度：0.7

  解析

• 4．若a、b滿足

  3

  a

  +

  5

  |

  b

  |

  =7，則S=

  2

  a

  -

  3

  |

  b

  |

  的取值范圍是

  ．
  組卷：643引用：8難度：0.7

  解析

• 5．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足

  1

  2

  |

  a

  -

  b

  |

  +

  2

  b

  +

  c

  +

  c

  2

  -

  c

  +

  1

  4

  =

  0

  ，則a（b+c）=

   

  ．
  組卷：282引用：4難度：0.5

  解析

• 6．設(shè)x,y都是有理數(shù)，且滿足方程

  （

  1

  2

  +

  π

  3

  ）

  x

  +

  （

  1

  3

  +

  π

  2

  ）

  y

  -

  4

  -

  π

  =

  0

  ，那么x-y的值是

  ．
  組卷：819引用：7難度：0.7

  解析

• 7．設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且a、b滿足ab+a-b=1，則b=

   

  ．
  組卷：235引用：3難度：0.7

  解析

• 8．已知正數(shù)a和b,有下列結(jié)論：
  （1）若a=1，b=1，則

  ab

  ≤1；（2）若a=

  1

  2

  ，b=

  5

  2

  ，則

  ab

  ≤

  3

  2

  ；
  （3）若a=2，b=3，則

  ab

  ≤

  5

  2

  ；（4）若a=1，b=5，則

  ab

  ≤

  3

  ．
  根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想：若a=6，b=7，則ab≤

   

  ．
  組卷：200引用：5難度：0.7

  解析

三、解答題（共9小題，滿分77分）

• 24．在形如a^b=N的式子中，我們已經(jīng)研究過(guò)兩種情況：
  ①已知a和b,求N，這是乘方運(yùn)算；
  ②已知b和N，求a,這是開(kāi)方運(yùn)算；
  現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知a和N，求b,我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算．
  定義：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），則b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b=log_aN．
  例如：求log₂8，因?yàn)?³=8，所以log₂8=3；又比如∵

  2

  -

  3

  =

  1

  8

  ，∴

  lo

  g

  2

  1

  8

  =

  -

  3

  ．
  （1）根據(jù)定義計(jì)算：
  ①log₃81=

  ；②log₁₀1=

  ；③如果log_x16=4，那么x=

  ．
  （2）設(shè)a^x=M，a^y=N，則log_aM=x,log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)），
  ∵a^x?a^y=a^x+y，∴a^x+y=M?N∴l(xiāng)og_aMN=x+y,即log_aMN=log_aM+log_aN
  這是對(duì)數(shù)運(yùn)算的重要性質(zhì)之一，進(jìn)一步，我們還可以得出：log_aM₁M₂M₃…M_n=

  ．
  （其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均為正數(shù)，a＞0，a≠1）．
  （3）請(qǐng)你猜想：

  lo

  g

  a

  M

  N

  =

  （a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)）．
  組卷：3253引用：9難度：0.1

  解析

• 25．設(shè)

  y

  =

  ax

  +

  b

  cx

  +

  d

  ，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)．求證：
  （1）當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；
  （2）當(dāng)bc≠ad時(shí)，y是無(wú)理數(shù)．設(shè)△ABC的三邊分別是a、b、c,且a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，試求△ABC的形狀．
  組卷：239引用：1難度：0.1

  解析