2022-2023學(xué)年安徽省合肥一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
發(fā)布：2024/7/20 8:0:8
一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每題5分，滿分40分）．
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1．若復(fù)數(shù)z=a2-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ?。?/h2>
組卷：200引用：9難度：0.7 -
2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且滿足c=2acosB，則△ABC的形狀是（ ?。?/h2>
組卷：1087引用：18難度：0.9 -
3．某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（ ?。?/h2>
組卷：516引用：6難度：0.9 -
4．△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知
，則B的大小為（ ）A=π4，a=2，b=3組卷：95引用：5難度：0.7 -
5．設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．且2
+2PA+PB=0，則S△ABP：S△ABC=（ ?。?/h2>PC組卷：1521引用：7難度：0.6 -
6．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=5，E為B1C1的中點(diǎn)，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（ ?。?/h2>組卷：441引用：8難度：0.7 -
7．在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”．已知棱臺ABCD-A′B′C′D′是一個側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中AB=2A′B′=2，
，則該“芻童”外接球的表面積為（ ?。?/h2>BC=2B′C′=23組卷：196引用：5難度：0.5
四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其余各題12分，滿分70分）
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21．合肥一中云上農(nóng)舍有三處苗圃，分別位于圖中△ABC的三個頂點(diǎn)，已知，BC=40m.為了解決三個苗圃的灌溉問題，現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）且與B，C等距的一點(diǎn)O處建立一個蓄水池，并鋪設(shè)管道OA、OB、OC．AB=AC=202m
（1）設(shè)∠OBC=θ，記鋪設(shè)的管道總長度為ym,請將y表示為θ的函數(shù)；
（2）當(dāng)管道總長取最小值時，求θ的值．組卷：22引用：3難度：0.5 -
22．數(shù)學(xué)史上著名的波爾約-格維也納定理：任意兩個面積相等的多邊形，它們可以通過相互拼接得到．它由法卡斯?波爾約（FarksBolyai）和保羅?格維也納（PaulGerwien）兩位數(shù)學(xué)家分別在1833年和1835年給出證明．現(xiàn)在我們來嘗試用平面圖形拼接空間圖形，使它們的全面積都與原平面圖形的面積相等：（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），其中圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個正三棱錐；圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形（陰影部分），其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的
，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．14
（1）試比較圖1與圖2剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。?br />（2）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請仿照圖2設(shè)計(jì)剪拼方案，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明．組卷：15引用：2難度：0.5