2023-2024學(xué)年上海市松江一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．考生必須在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，否則一律得零分）．

• 1．已知z=1+i,則|z|=

  ．
  組卷：18引用：8難度：0.9

  解析

• 2．函數(shù)f （x）=

  1

  x

  +

  1

  +lnx的定義域是

  ．
  組卷：3471引用：32難度：0.9

  解析

• 3．記S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．若2S₃=3S₂+6，則公差d=

  ．
  組卷：4325引用：12難度：0.8

  解析

• 4．函數(shù)f（x）=2x²-1的極值點(diǎn)為

  ．
  組卷：88引用：3難度：0.6

  解析

• 5．已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=2^x，則f（-2）=

  ．
  組卷：59引用：2難度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  與

  b

  的夾角是120°，|

  a

  |=3，|

  a

  +

  b

  |=

  13

  ，則|

  b

  |=

   

  ．
  組卷：427引用：16難度：0.7

  解析

• 7．已知tanα=

  1

  3

  ，tanβ=-

  1

  7

  ，則tan（2α-β）的值為

   

  ．
  組卷：48引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=

  2

  2

  ，直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若l不過O點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段AB的中點(diǎn)為M，求證：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
  （3）若OA⊥OB，求△AOB面積的取值范圍．
  組卷：91引用：3難度：0.2

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• 21．.已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=sinx-ax（a∈R）．
  （1）求f（x）的最大值；
  （2）若對?x₁∈（0，+∞），總存在

  x

  2

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  （3）證明不等式

  sin

  （

  1

  n

  ）

  n

  +

  sin

  （

  2

  n

  ）

  n

  +

  …

  +

  sin

  （

  n

  n

  ）

  n

  ＜

  e

  e

  -

  1

  （其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
  組卷：279引用：3難度：0.2

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