2010年競賽輔導：平面幾何的定值與最值問題

一、選擇題（共2小題，每小題3分，滿分6分）

• 1．如圖，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為（　?。?/h2>

  A． 2 3

  B． 13

  C． 14

  D． 15
  組卷：721引用：23難度：0.5

  解析

• 2．已知，如圖，線段AB上有任一點M，分別以AM，BM為邊長作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圓⊙O、⊙O′交于M、N兩點，則直線MN的情況是（　　）

  A．定直線	B．經(jīng)過定點
  C．一定不過定點	D．以上都有可能
  組卷：178引用：1難度：0.9

  解析

二、填空題（共2小題，每小題4分，滿分8分）

• 3．用四條線段a=14，b=13，c=9，d=7．作為四條邊構成一個梯形，則在所構成的梯形中，中位線長的最大值是

   

  ．
  組卷：180引用：3難度：0.9

  解析

• 4．如圖，⊙O的半徑為

  2

  ，A、B兩點在⊙O上，切線AQ和BQ相交于Q，P是AB延長線上任一點，QS⊥OP于S，則OP?OS=

   

  ．
  組卷：932引用：10難度：0.7

  解析

三、解答題（共15小題，滿分136分）

• 5．傳說從前有一個虔誠的信徒，他是集市上的一個小販．每天他都要從家所在的點A出發(fā)，到集市點B，但是，到集市之前他必須先拐彎到圓形古堡朝拜阿波羅神像．古堡是座圣城，阿波羅像供奉在古堡的圓心點O，而周圍上的點都是供信徒朝拜的頂禮地點如圖．這個信徒想，我怎樣選擇朝拜點，才能使從家到朝拜點，然后再到集市的路程最短呢？
  組卷：82引用：1難度：0.7

  解析

• 6．如果△ABC的外接圓半徑R一定，求證：

  abc

  S

  是定值．（S表示△ABC的面積）
  組卷：184引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（共15小題，滿分136分）

• 18．如圖，已知⊙O的半徑為R，以⊙O上一點A為圓心，以r為半徑作⊙A，又直徑PQ與⊙A相切，切點為D，且交⊙O于P、Q．求證：AP?AQ為定值．
  組卷：285引用：2難度：0.5

  解析

• 19．如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，經(jīng)過點B的一直線和兩圓分別相交于點C和D，設此兩圓的半徑為R₁，R₂．求證：AC：AD=R₁：R₂．
  組卷：84引用：1難度：0.5

  解析