綜合與實(shí)踐
【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即12ab×4+（b-a）2，從而得到等式c2=12ab×4+（b-a）2，化簡(jiǎn)便得結(jié)論a2+b2=c2．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱(chēng)之為“雙求法”．
【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．
（1）請(qǐng)用a,b,c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2=c2．
（2）【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問(wèn)題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AB邊上的高為 655655．
（3）如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x,求x的值．
1
2
ab
×
4
+
（
b
-
a
）
2
c
2
=
1
2
ab
×
4
+
（
b
-
a
）
2
6
5
5
6
5
5
【答案】
6
5
5
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/8/31 8:0:8組卷：1171引用：9難度：0.5
相似題
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1．如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC=b,BC=a,∠ACB=90°，若圖中大正方形的面積為35，小正方形的面積為3，則（a+b）2的值為 ．發(fā)布：2025/5/24 13:0:1組卷：69引用：1難度：0.6 -
2．小慧在課外閱讀時(shí)遇到了一個(gè)與勾股定理有關(guān)的故事：古希臘哲學(xué)家柏拉圖對(duì)勾股定理很有研究，曾得到勾股數(shù)的一個(gè)結(jié)論：如果m表示大于1的整數(shù)，則a=2m,b=m2-1，c=m2+1構(gòu)成勾股數(shù)，你能證明柏拉圖這個(gè)結(jié)論嗎？并利用這個(gè)結(jié)論寫(xiě)出兩組勾股數(shù)．（勾股數(shù)定義：若三角形三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么a、b、c稱(chēng)為一組勾股數(shù)）．
發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：28引用：1難度：0.5 -
3．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，若∠ADE=∠AED，，則△ADE的面積為（ ?。?/h2>AD=25發(fā)布：2025/5/25 11:30:2組卷：357引用：3難度：0.5