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2022-2023學年上海師大附中高一（下）期末數學試卷

發(fā)布：2024/6/27 8:0:9

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1．已知向量
a
=
（
-
1
，
2
）
，
b
=
（
x
,
4
）
，且
a
⊥
b
，則x=
．
組卷：32引用：2難度：0.8
解析
2．已知等差數列{a_n}前n項和為S_n且滿足a₇+a₉=2，則S₁₅=
．
組卷：120引用：1難度：0.8
解析
3．設復數z滿足（1+2i）z=5i,則|z|=
．
組卷：65引用：4難度：0.7
解析
4．函數
y
=
f
（
x
）
=
sin
2
x
,
x
∈
[
-
π
6
，
π
3
]
的最大值為
．
組卷：68引用：1難度：0.8
解析
5．已知數列{a_n}滿足
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
n
n
+
1
a
n
（
n
∈
N
，
n
?
1
）
，則a_n=
．
組卷：143引用：3難度：0.5
解析
6．最早發(fā)現勾股定理的人應是我國商朝數學家商高，根據文獻記載，商高曾經和周公討論過“勾三股四弦五”的問題，所以商高比畢達哥拉斯早500多年發(fā)現勾股定理．現有△ABC滿足“勾三股四弦五”，其中AB=4，D為弦BC上一點（不與B、C重合），且△ABD滿足“勾三股四弦五”，則
AB
?
AD
=
．
組卷：28引用：1難度：0.7
解析
7．已知平面向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=0，且|
a
|=|
b
|=|
c
|=1，則
a
?
b
的值為
．
組卷：194引用：4難度：0.7
解析

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三、解答題（本大題共5題）

20．公元263年，劉徽首創(chuàng)了用圓的內接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法，算得n值為3.14，我國稱這種方法為割圓術，直到1200年后，西方人才找到了類似的方法，后人為紀念劉徽的貢獻，將3.14稱為徽率．我們作單位圓的外切和內接正3×2ⁿ邊形（n=1，2，3??），記外切正3×2ⁿ邊形周長的一半為a_n，內接正3×2ⁿ邊形周長的一半為b_n．通過計算容易得到：
a
n
=
3
×
2
n
tan
θ
n
（其中θ_n是正3×2ⁿ邊形的一條邊所對圓心角的一半）
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）求證：對于任意正整數
n
,
1
a
n
、
1
a
n
+
1
、
1
b
n
依次成等差數列；
（3）試問對任意正整數n,b_n、b_n+1、a_n+1是否能構成等比數列？說明你的理由．
組卷：127引用：4難度：0.4
解析
21．設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變改行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“共軛變形”．
（1）數表A如表1所示．若經過兩次“共軛變形”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“共軛變形”后得到的數表（寫出一種方法即可）；
表1

1 2 3 -7

-2 1 0 1

（2）數表A如表2所示．若必須經過兩次“共軛變形”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數a的所有可能值；
表2

a a²-1 -a -a²

2-a 1-a² a-2 a²

（3）對于由m×n個實數組成的m行n列的任意一個數表A，能否經過有限次“共軛變形”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數？請說明理由．
組卷：14引用：1難度：0.3
解析