2022-2023學年重慶市北碚區(qū)高三（上）質檢數學試卷（10月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．復數

  z

  =

  1

  +

  3

  i

  3

  -

  i

  （i為虛數單位）的共軛復數

  z

  =（　?。?/h2>

  A．i

  B．-i

  C．3i

  D．-3i
  組卷：99引用：2難度：0.8

  解析

• 2．若命題“?x＞0，x+a-1=0”是假命題，則實數a的范圍是（　　）

  A．{a|a＜-1}

  B．{a|a≤-1}

  C．{a|a＞1}

  D．{a|a≥1}
  組卷：77引用：2難度：0.8

  解析

• 3．設函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  1 ， x ＞ 0

  0 ， x = 0

  - 1 ， x ＜ 0

  ，則方程x²f（x-1）=-4的解為（　?。?/h2>

  A．x=-2

  B．x=-3

  C．x=2

  D．x=3
  組卷：136難度：0.8

  解析

• 4．sin10°的值落在區(qū)間（　?。┲校?/h2>

  A． （ 1 7 ， 1 6 ）

  B． （ 1 6 ， 1 5 ）

  C． （ 1 5 ， 1 4 ）

  D． （ 2 6 ， 3 6 ）
  組卷：55引用：2難度：0.6

  解析

• 5．大磨灘瀑布位于重慶市北碚區(qū)，其為懸?guī)r瀑布，白練千條，五光十色，氣勢磅礴，吼聲如雷．在懸瀑正中，有一人工開鑿的洞穴，用石板封閉，人不能入．右側有石屋兩間，人工鑿巖而成，各長6米，寬3米，高2.5米，一上一下，兩屋相通，下屋內有石窗，可觀瀑布．為了測量大磨灘瀑布的某一處實際高度，李華同學設計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內，瀑布底端與山道在同一平面內，可粗略認為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為

  3

  2

  ，沿山道繼續(xù)走20m,抵達B點位置測得瀑布頂端的仰角為

  π

  3

  ；已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為

  π

  3

  ，則該瀑布的高度約為（　?。?/h2>

  A．60m

  B．90m

  C．108m

  D．120m
  組卷：19引用：1難度：0.6

  解析

• 6．某干燥塔的底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個內接正方形ABCD框架，在圓O的劣弧BC上有一點P，現(xiàn)在從點P出發(fā)，安裝PA，PB，PC三根熱管，則三根熱管的長度和的最大值為（　?。?/h2>

  A．4

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 2 6
  組卷：66引用：3難度：0.5

  解析

• 7．現(xiàn)有天平及重量為1，2，4，8的砝碼各一個，每一步，我們選取任意一個砝碼，將其放入天平的左邊或者右邊，直至所有砝碼全放到天平兩邊，但在放的過程中，發(fā)現(xiàn)天平的指針不會偏向分度盤的右邊，則這樣的方法共有（　　）種．

  A．105

  B．72

  C．60

  D．48
  組卷：332引用：2難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數論、概率論、函數逼近論、積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設X為離散型隨機變量，則P（|X-E（X）|≥λ）≤

  D

  （

  X

  ）

  λ

  2

  ，其中λ為任意大于0的實數．切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X-λ|≤λ的概率作出估計．
  （1）證明離散型切比雪夫不等式；
  （2）應用以上結論，回答下面問題：
  已知正整數n≥5．在一次抽獎游戲中，有n個不透明的箱子依次編號為1，2，?，n,編號為i（1≤i≤n）的箱子中裝有編號為0，1，?，i的i+1個大小、質地均相同的小球．主持人邀請n位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為X_i，并記X=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  X

  i

  i

  ．對任意的n,是否總能保證P（X≤0.1n）≥0.01（假設嘉賓和箱子數能任意多）？并證明你的結論．
  附：可能用到的公式（數學期望的線性性質）：
  對于離散型隨機變量X，X₁，X₂，?，X_n滿足X=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  X

  i

  ，則有E（X）=

  n

  ∑

  i

  =

  1

  E

  （

  X

  i

  ）

  ．
  組卷：143引用：2難度：0.6

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• 22．已知0≤m＜n,若函數f（x）在x∈[m,n]上的值域是[km,kn]，則稱f（x）是第k類函數．
  （1）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  -

  1

  x

  是第k類函數，求k的取值范圍；
  （2）若f（x）=4x-x²是第2類函數，求m,n的值．
  組卷：205引用：3難度：0.2

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