2023-2024學(xué)年廣東省廣州市真光中學(xué)高二（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（9月份）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

• 1．已知直線

  l

  ：

  3

  x

  +

  y

  +

  3

  =

  0

  ，下列結(jié)論正確的是（　?。?/h2>

  A．直線l的傾斜角為 π 3

  B．直線l的法向量為 （ 3 ，- 1 ）

  C．直線l的方向向量為 （ 1 ， 3 ）

  D．直線l的斜率為 - 3
  組卷：526引用：3難度：0.7

  解析

• 2．若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（　?。?/h2>

  A． b + c ， b ， b - c	B． a ， a + b ， a - b
  C． a + b ， a - b ， c	D． a + b ， a + b + c ， c
  組卷：1558引用：27難度：0.8

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• 3．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法不正確的是（　?。?/h2>

  A．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是 u ， ν ，且 u = （ 1 ， 2 ，- 2 ） ， ν = （ 2 ， 1 ， 2 ） ，則α⊥β

  B．若直線l的方向向量為 e = （ 1 ， 0 ， 3 ） ，平面α的法向量為 n = （ - 2 ， 0 ， 2 3 ） ，則直線l∥α

  C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有 OP = 1 4 OA + 1 4 OB + 1 2 OC ，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

  D．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線
  組卷：264引用：9難度：0.7

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• 4．如圖，在三棱錐O-ABC中，設(shè)

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，若

  AN

  =

  NB

  ，

  BM

  =

  2

  MC

  ，則

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a + 1 6 b - 2 3 c	B． 1 2 a - 1 6 b + 2 3 c
  C． 1 2 a - 1 6 b - 1 3 c	D． 1 2 a + 1 6 b + 1 3 c
  組卷：205引用：12難度：0.7

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• 5．已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，5），AC邊上的高所在直線方程為3x+2y-7=0，則AC所在直線的方程為（　?。?/h2>

  A．x-2y+5=0

  B．2x-3y+3=0

  C．x+2y-15=0

  D．2x-3y+5=0
  組卷：150引用：7難度：0.7

  解析

• 6．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=

  2

  B

  B

  1

  ，則AB₁與BC₁所成角的大小為（　?。?/h2>

  A．60°

  B．90°

  C．105°

  D．75°
  組卷：513引用：20難度：0.7

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• 7．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為

  2

  的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得．若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． [ 1 3 ， 2 2 ]

  B． [ 1 3 ， 3 2 ]

  C． [ 1 2 ， 2 2 ]

  D． [ 1 2 ， 3 2 ]
  組卷：546引用：12難度：0.4

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四、解答題（本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

• 21．如圖，將一塊直角三角形木板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點(diǎn)

  P

  （

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）

  是三角形木板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的任一直線MN將三角形木板鋸成△AMN，設(shè)直線MN的斜率為k.
  （1）用k表示出直線MN的方程，并求出M、N的坐標(biāo)；
  （2）求鋸成的△AMN的面積的最小值．
  組卷：58引用：7難度：0.6

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• 22．如圖1，已知ABFE是直角梯形，EF∥AB，∠ABF=90°，∠BAE=60°，C、D分別為BF、AE的中點(diǎn)，AB=5，EF=1，將直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角F-DC-B的大小為60°，如圖2所示，設(shè)N為BC的中點(diǎn)．
  
  （1）證明：FN⊥AD；
  （2）若M為AE上一點(diǎn)，且

  AM

  AE

  =

  λ

  ，則當(dāng)λ為何值時(shí)，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為

  5

  7

  14

  ．
  組卷：354引用：10難度：0.4

  解析