2023年湖南師大附中高考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．滿足等式{0，1}∪X={x∈R|x³=x}的集合X共有（　?。?/h2>

  A．1個

  B．2個

  C．3個

  D．4個
  組卷：470引用：8難度：0.7

  解析

• 2．已知

  sinθ

  1

  +

  cosθ

  =2，則tanθ=（　?。?/h2>

  A． 4 3

  B．- 2 3

  C．- 4 3

  D． 2 3
  組卷：337引用：6難度：0.6

  解析

• 3．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且f（x+1）為奇函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=k?3^x+a.若f（0）+f（3）=4，則f（log₃2）=（　?。?/h2>

  A．2

  B．0

  C．-3

  D．-6
  組卷：300引用：5難度：0.6

  解析

• 4．正整數(shù)1，2，3，…，n的倒數(shù)的和1+

  1

  2

  +

  1

  3

  +

  ?

  +

  1

  n

  已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；當n很大時1+

  1

  2

  +

  1

  3

  +

  ?

  +

  1

  n

  ≈lnn+γ．其中γ稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，γ≈0.577215664901?，至今為止都不確定γ是有理數(shù)還是無理數(shù)．設[x]表示不超過x的最大整數(shù)．用上式計算

  [

  1

  +

  1

  2

  +

  1

  3

  +

  ?

  +

  1

  2022

  ]

  的值為（　?。▍⒖紨?shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln10≈2.30）

  A．7

  B．8

  C．9

  D．10
  組卷：175引用：6難度：0.7

  解析

• 5．甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有A，B，C三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū)．則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（　　）

  A． 193 243

  B． 100 243

  C． 2 3

  D． 5 9
  組卷：368引用：8難度：0.7

  解析

• 6．如圖，已知正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，A₁B₁=4，BB₁=2，點M，N分別為A₁B₁，B₁C₁的中點，則下列平面中與BB₁垂直的平面是（　?。?/h2>

  A．平面A1C1D

  B．平面DMN

  C．平面ACNM

  D．平面AB1C
  組卷：271引用：4難度：0.4

  解析

• 7．已知函數(shù)f（x）=2+lnx,

  g

  （

  x

  ）

  =

  a

  x

  ，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=f（x），y=g（x）圖象均相切，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。?/h2>

  A．（0，1）

  B．（0，2）

  C．（1，2）

  D．（1，e）
  組卷：928引用：7難度：0.4

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的一個焦點為F（2，0），O為坐標原點，過點F作直線l與一條漸近線垂直，垂足為A，與另一條漸近線相交于點B，且A，B都在y軸右側，|OA|+|OB|=

  3

  |

  AB

  |．
  （1）求雙曲線C的方程；
  （2）若直線l₁與雙曲線C的右支相切，切點為P，l₁與直線l₂：x=

  3

  2

  交于點Q，試探究以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點．
  組卷：179引用：2難度：0.3

  解析

• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  xlna

  e

  x

  +

  asinx

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  ，f'（x）為f（x）的導數(shù)．
  （Ⅰ）若x=0為f'（x）的零點，試討論f（x）在區(qū)間[0，π]的零點的個數(shù)；
  （Ⅱ）當a=1時，

  f

  （

  x

  ）

  2

  +

  cosx

  ＜

  mx

  （

  x

  ＞

  0

  ）

  ，求實數(shù)m的取值范圍．
  組卷：141引用：2難度：0.2

  解析