2022-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿(mǎn)分54分)

• 1．設(shè)集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，則B∩C的元素個(gè)數(shù)為

  ．
  組卷：91引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知復(fù)數(shù)z=

  2

  i

  1

  +

  i

  ，則z的共軛復(fù)數(shù)

  z

  =

  ．
  組卷：55引用：5難度：0.7

  解析

• 3．已知直線L₁：（a-3）x+（1-a）y-1=0，L₂：（a-1）x+（2a-3）y+1=0，則當(dāng)實(shí)數(shù)a=

  時(shí)，L₁∥L₂．
  組卷：146引用：5難度：0.7

  解析

• 4．已知cos（

  π

  6

  -

  α

  ）=

  1

  3

  ，則sin（

  5

  π

  6

  +

  α

  ）cos（

  2

  π

  3

  -

  α

  ）=

  ．
  組卷：170引用：1難度：0.7

  解析

• 5．將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放到三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球且編號(hào)為1，2的兩個(gè)小球不能放到同一個(gè)盒子里，則不同放法的種數(shù)有

   

  ．（用數(shù)字作答）
  組卷：90引用：4難度：0.5

  解析

• 6．（x+2y）（x-y）⁵的展開(kāi)式中x²y⁴的系數(shù)為

  ．
  組卷：198引用：11難度：0.7

  解析

• 7．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S_甲和S_乙，體積分別為V_甲和V_乙，若

  S

  甲

  S

  乙

  =2，則

  V

  甲

  V

  乙

  =

  ．
  組卷：63引用：1難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分76分）

• 20．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  過(guò)點(diǎn)M（0，2），且右焦點(diǎn)為F（2，0）．
  （1）寫(xiě)出橢圓C的方程；
  （2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P．若

  PA

  =m

  AF

  ，

  PB

  =n

  BF

  ，求證：m+n為定值；
  （3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P不在橢圓C的內(nèi)部，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，試求三角形QAB面積的最小值．
  組卷：227引用：5難度：0.3

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• 21．記f′（x），g′（x）分別為函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)．若存在x₀∈R，滿(mǎn)足f（x₀）=g（x₀）且f′（x₀）=g′（x₀），則稱(chēng)x₀為函數(shù)f（x）與g（x）的一個(gè)“S點(diǎn)”．
  （1）證明：函數(shù)f（x）=x與g（x）=x²+2x-2不存在“S點(diǎn)”；
  （2）若函數(shù)f（x）=ax²-1與g（x）=lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；
  （3）已知函數(shù)f（x）=-x²+a,g（x）=

  b

  e

  x

  x

  ．對(duì)任意a＞0，判斷是否存在b＞0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．
  組卷：2564引用：10難度：0.5

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