2023年三省三校（湖南省長沙市長郡中學(xué)、河南省鄭州外國語學(xué)校、浙江省杭州二中）高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知全集U=R，集合A={2，3，4}，集合B={0，2，4，5}，則圖中的陰影部分表示的集合為（　?。?/h2>

  A．{2，4}

  B．{0}

  C．{5}

  D．{0，5}
  組卷：165引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知直線l₁：

  3

  x-3y+1=0，若直線l₂與l₁垂直，則l₂的傾斜角是（　　）

  A．150°

  B．120°

  C．60°

  D．30°
  組卷：302引用：8難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  b

  |

  ，則

  a

  +

  b

  在

  a

  方向上的投影向量為（　　）

  A． a

  B． b

  C． 2 a

  D． 2 b
  組卷：609引用：9難度：0.8

  解析

• 4．早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅在求球的體積時(shí)，就創(chuàng)造性地提出了一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積S₁、S₂總相等，則這兩個幾何體的體積V₁、V₂相等．根據(jù)“祖暅原理”，“V₁=V₂”是“S₁=S₂”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：148引用：6難度：0.7

  解析

• 5．函數(shù)y=2cosx（0＜x＜π）和函數(shù)y=3tanx的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（　　）

  A． 3 π 2

  B． 3 π 3

  C． 2 π 2

  D． 2 π 3
  組卷：435引用：4難度：0.5

  解析

• 6．已知P為雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若|PF₁|=|F₁F₂|，且直線PF₂與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，則C的漸近線方程為（　?。?/h2>

  A． y =± 4 3 x

  B． y =± 3 4 x

  C． y =± 3 5 x

  D． y =± 5 3 x
  組卷：612引用：17難度：0.7

  解析

• 7．已知正六棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，則該六棱錐體積的最大值為（　　）

  A． 27 3

  B．16 3

  C． 10 3

  D． 9 3
  組卷：88引用：1難度：0.5

  解析

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0），長軸為AB，離心率為

  3

  2

  ，P是橢圓C上的動點(diǎn)，△PAB面積的最大值為2．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若點(diǎn)S、T是橢圓C上另兩個動點(diǎn)，求△PST面積的最大值．
  組卷：70引用：1難度：0.6

  解析

• 22．曲線的曲率是針對曲線上某個點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，曲線的曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，若記y″=（y'）′，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的曲率為

  κ

  =

  |

  y

  ″

  0

  |

  （

  1

  +

  （

  y

  ′

  0

  ）

  2

  ）

  3

  2

  ．
  （1）求證：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）在

  x

  =

  -

  b

  2

  a

  處彎曲程度最大；
  （2）已知函數(shù)g（x）=6x²lnx-2ax³-9x²，h（x）=2xe^x-4e^x+ax²，

  a

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  e

  ）

  ，若g（x），h（x）曲率為0時(shí)x的最小值分別為x₁，x₂，求證：

  x

  2

  1

  e

  x

  2

  ＞

  e

  8

  3

  ．
  組卷：36引用：1難度：0.6

  解析