2010年初三奧賽培訓05：三角形的五心

一、解答題

• 1．過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N．作點P關于MN的對稱點P′．
  試證：P′點在△ABC外接圓上．
  組卷：77引用：1難度：0.9

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• 2．在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S．證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似．
  組卷：85引用：1難度：0.9

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• 3．AD，BE，CF是△ABC的三條中線，P是任意一點．證明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和．
  組卷：132引用：2難度：0.5

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• 4．如果三角形三邊的平方成等差數列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似．其逆亦真．
  組卷：128引用：1難度：0.7

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• 5．設A₁A₂A₃A₄為⊙O內接四邊形，H₁，H₂，H₃，H₄依次為△A₂A₃A₄，△A₃A₄A₁，△A₄A₁A₂，△A₁A₂A₃的垂心．求證：H₁，H₂，H₃，H₄四點共圓，并確定出該圓的圓心位置．
  組卷：153引用：1難度：0.5

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• 6．H為△ABC的垂心，D，E，F分別是BC，CA，AB的中心．一個以H為圓心的⊙H交直線EF，FD，DE于A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂．
  求證：AA₁=AA₂=BB₁=BB₂=CC₁=CC₂．
  組卷：44難度：0.7

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• 7．ABCD為圓內接凸四邊形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內心O₁，O₂，O₃，O₄．求證：O₁O₂O₃O₄為矩形．
  組卷：240引用：1難度：0.5

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一、解答題

• 21．已知△ABC的三個旁心為O₁，O₂，O₃．求證：△O₁O₂O₃是銳角三角形．
  組卷：253引用：1難度：0.3

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• 22．AB，AC切⊙O于B，C，過OA與BC的交點M任作⊙O的弦EF．求證：
  （1）△AEF與△ABC有公共的內心；
  （2）△AEF與△ABC有一個旁心重合．
  組卷：149引用：1難度：0.1

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