2023-2024學(xué)年遼寧省鞍山市立山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

• 1．下列有關(guān)環(huán)保的四個(gè)圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?/h2>

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：121引用：4難度：0.9

  解析

• 2．一元二次方程x²+2x-5=0的根的情況是（　　）

  A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根	B．沒有實(shí)數(shù)根
  C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根	D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
  組卷：273引用：4難度：0.8

  解析

• 3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的

  1

  4

  ，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（　　）

  A．（3，2）	B．（-2，-3）
  C．（2，3）或（-2，-3）	D．（3，2）或（-3，-2）
  組卷：917引用：24難度：0.7

  解析

• 4．要將拋物線y=x²平移后得到拋物線y=x²+4x+5，下列平移方法正確的是（　?。?/h2>

  A．向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位

  B．向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位

  C．向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位

  D．向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位
  組卷：1687引用：8難度：0.8

  解析

• 5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時(shí)點(diǎn)A'恰好在AB邊上，則點(diǎn)B'與點(diǎn)B之間的距離為（　?。?/h2>

  A．2

  B．4

  C．2 3

  D．2 2
  組卷：242引用：7難度：0.5

  解析

• 6．若將方程x²-6x-5=0化成（x+a）²=b（a,b為常數(shù)）的形式，則a+b的值是（　　）

  A．-17

  B．-11

  C．2

  D．11
  組卷：350引用：6難度：0.6

  解析

• 7．如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB=1：2，AC=12，則MN的長為（　?。?/h2>

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  組卷：2480引用：15難度：0.7

  解析

三、解答題：

• 22．發(fā)現(xiàn)問題：
  如圖1，在筆記本的橫線上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距繼續(xù)畫同心圓，愛思考的小杰同學(xué)發(fā)現(xiàn)同心圓與每條橫線的2個(gè)交點(diǎn)的位置隨著半徑的改變而改變．
  ?
  提出問題：
  探究這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系．
  分析問題：
  小杰利用已學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，小杰利用圖2坐標(biāo)系，通過計(jì)算得到一些數(shù)據(jù)：
  

  半徑	1	2	3	4	5	…
  交點(diǎn)坐標(biāo)	（-1，0）， （1，0）	（ 3 ，1）， （- 3 ，1）	（ 5 ，2）， （- 5 ，2）	（ 7 ，3）， （- 7 ，3）		…

  請直接寫出圓的半徑為5時(shí)的交點(diǎn)坐標(biāo)

  ；
  解決問題：
  （1）請你根據(jù)小杰的思路，計(jì)算圓半徑為n時(shí)的交點(diǎn)坐標(biāo)；
  （2）通過上述計(jì)算，結(jié)合已學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，猜想這些交點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上，設(shè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y,橫坐標(biāo)為x,請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
  組卷：400引用：2難度：0.5

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• 23．問題情境
  利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫好Rt△ABC，AB=CB，∠ABC=90°，要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段，探究圖形中的結(jié)論．
  問題發(fā)現(xiàn)
  某小組將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為α，連接CD、BD，如圖1所示．
  如圖2，小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D落在邊AC上時(shí)，∠BAD=2∠CBD=α．
  如圖3，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α每改變一個(gè)度數(shù)時(shí)，CD的長也隨之改變．
  ……
  問題提出與解決
  該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1，請你解答．
  問題1：如圖1，在Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為α，連接CD、BD．
  ?
  （1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在邊AC上時(shí)，求證：2∠CBD=∠BAD=α；
  （2）如圖3，當(dāng)α=30°時(shí)，若

  AB

  =

  6

  +

  2

  ，求CD的長．
  拓展延伸
  小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為100°，嘗試畫圖，并提出問題2，請你解答．
  問題2：如圖4，△ABC中，AB=CB，∠ABC=100°，將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，旋轉(zhuǎn)角α=20°，連接CD、BD，求∠ACD的度數(shù)．
  組卷：258引用：1難度：0.3

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