北師大版七年級(jí)（上）中考題單元試卷：第4章 平面圖形及其位置關(guān)系（02）

一、選擇題（共1小題）

• 1．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線(xiàn)，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線(xiàn)最多可畫(huà)（　?。?/h2>

  A．6條

  B．7條

  C．8條

  D．9條
  組卷：2685引用：47難度：0.5

  解析

二、填空題（共4小題）

• 2．如圖，將線(xiàn)段AB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A點(diǎn)B均落在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在線(xiàn)段AB上畫(huà)出點(diǎn)P，使AP=

  2

  17

  3

  ，并保留作圖痕跡．（備注：本題只是找點(diǎn)不是證明，∴只需連接一對(duì)角線(xiàn)就行）
  組卷：1217引用：27難度：0.7

  解析

• 3．如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上．
  （Ⅰ）計(jì)算AC²+BC²的值等于

  ；
  （Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于A(yíng)C²+BC²，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不要求證明）．
  組卷：1874引用：31難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在正方形網(wǎng)格中有一邊長(zhǎng)為4的平行四邊形ABCD，請(qǐng)將其剪拼成一個(gè)有一邊長(zhǎng)為6的矩形．（要求：在答題卡的圖中畫(huà)出裁剪線(xiàn)即可）
  組卷：464引用：27難度：0.5

  解析

• 5．如圖，在一張長(zhǎng)為8cm,寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上）．則剪下的等腰三角形的面積為

  cm²．
  組卷：3415引用：47難度：0.5

  解析

三、解答題（共25小題）

• 6．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖將△ABC分成兩個(gè)全等的三角形，并說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的理由．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
  組卷：704引用：29難度：0.7

  解析

• 7．圖①，圖②，圖③都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．在圖①，圖②中已畫(huà)出線(xiàn)段AB，在圖③中已畫(huà)出點(diǎn)A．按下列要求畫(huà)圖：
  
  （1）在圖①中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形；
  （2）在圖②中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為一邊畫(huà)一個(gè)正方形；
  （3）在圖③中，以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上，畫(huà)一個(gè)面積最大的正方形．
  組卷：679引用：33難度：0.7

  解析

• 8．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫(huà)出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫(huà)出示意圖，并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）
  組卷：1906引用：42難度：0.5

  解析

• 9．在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格紙中，若多邊形的各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線(xiàn)的交錯(cuò)點(diǎn)）上，這樣的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形．記格點(diǎn)多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)為a,邊界上的格點(diǎn)數(shù)為b,則格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=ma+nb-1，其中m,n為常數(shù)．
  （1）在下面的方格中各畫(huà)出一個(gè)面積為6的格點(diǎn)多邊形，依次為三角形、平行四邊形（非菱形）、菱形；
  （2）利用（1）中的格點(diǎn)多邊形確定m,n的值．
  
  組卷：705引用：30難度：0.5

  解析

• 10．各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)（橫豎格子線(xiàn)的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形．如何計(jì)算它的面積？奧地利數(shù)學(xué)家皮克（G?Pick,1859～1942年）證明了格點(diǎn)多邊形的面積公式S=a+

  1

  2

  b-1，其中a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積．如圖，a=4，b=6，S=4+

  1

  2

  ×6-1=6
  （1）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)正方形，使它的內(nèi)部只含有4個(gè)格點(diǎn)，并寫(xiě)出它的面積．
  （2）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它的面積為

  7

  2

  ，且每條邊上除頂點(diǎn)外無(wú)其它格點(diǎn)．
  
  組卷：765引用：30難度：0.5

  解析

三、解答題（共25小題）

• 29．數(shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  （其中m,n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．
  探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．
  探究一：計(jì)算

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  ．
  第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為

  1

  2

  ；
  第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  ；
  第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；
  …
  第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  ，最后空白部分的面積是

  1

  2

  n

  ．
  根據(jù)第n次分割圖可得等式：

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  =1-

  1

  2

  n

  ．
  
  探究二：計(jì)算

  1

  3

  +

  1

  3

  2

  +

  1

  3

  3

  +…+

  1

  3

  n

  ．
  第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為

  2

  3

  ；
  第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  ；
  第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
  …
  第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  +

  2

  3

  3

  +…+

  2

  3

  n

  ，最后空白部分的面積是

  1

  3

  n

  ．
  根據(jù)第n次分割圖可得等式：

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  +

  2

  3

  3

  +…+

  2

  3

  n

  =1-

  1

  3

  n

  ，
  兩邊同除以2，得

  1

  3

  +

  1

  3

  2

  +

  1

  3

  3

  +…+

  1

  3

  n

  =

  1

  2

  -

  1

  2

  ×

  3

  n

  ．
  
  探究三：計(jì)算

  1

  4

  +

  1

  4

  2

  +

  1

  4

  3

  +…+

  1

  4

  n

  ．
  （仿照上述方法，只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程）
  
  解決問(wèn)題：計(jì)算

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  ．
  （只需畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）
  根據(jù)第n次分割圖可得等式：

  ，
  所以，

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  =

  ．
  拓廣應(yīng)用：計(jì)算

  5

  -

  1

  5

  +

  5

  2

  -

  1

  5

  2

  +

  5

  3

  -

  1

  5

  3

  +…+

  5

  n

  -

  1

  5

  n

  ．
  組卷：1888引用：31難度：0.1

  解析

• 30．在校園文化建設(shè)活動(dòng)中，需要裁剪一些菱形來(lái)美化教室．現(xiàn)有平行四邊形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為1，a（a＞1）的紙片，先剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又余下一個(gè)四邊形，…依此類(lèi)推，請(qǐng)畫(huà)出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線(xiàn)的各種示意圖，并求出a的值．
  組卷：553引用：29難度：0.1

  解析