2010年江西省贛州市于都縣五中初中數(shù)學競賽培訓試卷

一、解答題（共21小題，滿分0分）

• 1．如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，N是線段BC上一點（不與B、C重合），過N作AB的垂線交AB于M，交AC的延長線于E，過C點作半圓O的切線交EM于F．
  （1）求證：△ACO∽△NCF；
  （2）NC：CF=3：2，求sinB的值．
  組卷：129引用：19難度：0.5

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• 2．隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤y₁與投資量x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
  （1）分別求出利潤y₁與y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；
  （2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤，他能獲取的最大利潤是多少？
  組卷：856引用：50難度：0.1

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• 3．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令AM=x.
  （1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；
  （2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切；
  （3）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
  
  組卷：687引用：50難度：0.1

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• 4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
  （1）求證：AE是⊙O的切線；
  （2）若∠DBC=30°，DE=1cm,求BD的長．
  組卷：2055引用：100難度：0.1

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• 5．在直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，設OD=t.
  （1）求tan∠FOB的值；
  （2）用含t的代數(shù)式表示△OAB的面積S；
  （3）是否存在點B，使以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似？若存在，請求出所有滿足要求的B點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：1611引用：15難度：0.1

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• 6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．
  （1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
  （2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
  （3）在圖3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=

  AC；
  ②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=

  AC（用含α的三角函數(shù)表示），并給出證明．
  
  組卷：1942引用：44難度：0.1

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• 7．已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A在x軸上，與y軸的交點為B（0，1），且b=-4ac.
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A？若不存在，說明理由；若存在，求出點C的坐標，并求出此時圓的圓心點P的坐標；
  （3）根據(jù)（2）小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)B、P、C三點的橫坐標之間、縱坐標之間分別有何關(guān)系？
  組卷：123引用：19難度：0.1

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一、解答題（共21小題，滿分0分）

• 20．如圖①，已知△ABC中，AB=AC，點P是BC上的一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG⊥AB于點G，則CG=PM+PN．
  （1）如圖②，若點P在BC的延長線上，則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系，若有，請說明理由，若沒有，猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；
  （2）如圖③，AC是正方形ABCD的對角線，AE=AB，點P是BE上任一點，PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M，猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
  （3）觀察圖①、②、③的特性，請你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個圖形，使它仍然具有PM、PN、CG這樣的線段，并滿足圖①或圖②的結(jié)論，寫出相關(guān)題設的條件和結(jié)論
  ．
  組卷：1746引用：4難度：0.1

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• 21．如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
  
  （1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想；
  （2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（1）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由；
  （3）若AC=BC=4，設△EFP平移的距離為x,當0≤x≤8時，△EFP與△ABC重疊部分的面積為S，請寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大值．
  組卷：592引用：60難度：0.3

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